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图灵等价是什么意思

发布时间:2019-07-03 10:24 来源:未知 编辑:admin

  可计算性理论是研究计算的一般性质的数学理论,也称算法理论或能行性理论。它通过建立计算的数学模型(例如抽象计算机),精确区分哪些是可计算的,哪些是不可计算的。计算的过程就是执行算法的过程。可计算性理论的重要课题之一,是将算法这一直观概念精确化。算法概念精确化的途径很多,其中之一是通过定义抽象计算机,把算法看作抽象计算机的程序。通常把那些存在算法计算其值的函数叫作可计算函数。因此,可计算函数的精确定义为:能够在抽象计算机上编出程序计算其值的函数。这样就可以讨论哪些函数是可计算的,哪些函数是不可计算的。

  可计算性是指一个实际问题是否可以使用计算机来解决.从广义上讲如“为我烹制一个汉堡”这样的问题是无法用计算机来解决的.而计算机本身的优势在于数值计算,因此可计算性通常指这一类问题是否可以用计算机解决.事实上,很多非数值问题(比如文字识别,图象处理等)都可以通过转化成为数值问题来交给计算机处理,但是一个可以使用计算机解决的问题应该被定义为“可以在有限步骤内被解决的问题”,故哥德巴赫猜想这样的问题是不属于“可计算问题”之列的,因为计算机没有办法给出数学意义上的证明,因此也没有任何理由期待计算机能解决世界上所有的问题.分析某个问题的可计算性意义重大,它使得人们不必浪费时间在不可能解决的问题上(因而可以尽早转而使用除计算机以外更加有效的手段),集中资源在可以解决的问题集中.

  可计算性理论起源于对数学基础问题的研究。20世纪30年代,为了讨论是否对于每个问题都有解决它的算法,数理逻辑学家提出了几种不同的算法定义。K.哥德尔和S.C.克林尼提出了递归函数的概念,A.丘奇提出λ转换演算,A.M.图灵和E.波斯特各自独立地提出了抽象计算机的概念(后人把图灵提出的抽象计算机称为图灵机),并且证明了这些数学模型的计算能力是一样的,即它们是等价的。著名的丘奇-图灵论题也是丘奇和图灵在这一时期各自独立提出的。后来,人们又提出许多等价的数学模型,如A.马尔可夫于40年代提出的正规算法(后人称之为马尔可夫算法),60年代前期提出的随机存取机器模型(简称 RAM)等。50年代末和60年代初,胡世华和J.麦克阿瑟等人各自独立地提出了定义在字符串上的递归函数。

  若m和n是两个正整数,并且m≥n时,求m和n的最大公因子的欧几里得算法可表示为

  依照这三条规则指示的步骤,可计算出任何两个正整数的最大公因子。可以把计算过程看成执行这些步骤的序列。我们发现,计算过程是有穷的,而且计算的每一步都是能够机械实现的(机械性)。为了精确刻划算法的特征,人们建立了各种各样的数学模型。

  可计算性理论的基本论题,也称图灵论题,它规定了直观可计算函数的精确含义。丘奇论题说:λ可定义函数类与直观可计算函数类相同。图灵论题说:图灵机可计算函数类与直观可计算函数类相同。图灵证明了图灵机可计算函数类与λ可定义函数类相同。这表明图灵论题和丘奇论题讲的是一回事,因此把它们统称为丘奇-图灵论题。直观可计算函数不是一个精确的数学概念,因此丘奇-图灵论题是不能加以证明的。30年代以来,人们提出了许多不同的计算模型来精确刻划可计算性,并且证明了这些模型都与图灵机等价。这表明图灵机和其他等价的模型确实合理地定义了可计算性,因此丘奇-图灵论题得到了计算机科学界和数学界的公认。

  一种在理论计算机科学中广泛采用的抽象计算机,它是图灵在1936年提出的,用于精确描述算法的特征。可用一个图灵机来计算其值的函数是可计算函数,找不到图灵机来计算其值的函数是不可计算函数。可以证明,存在一个图灵机U,它可以模拟任何其他的图灵机。这样的图灵机 U称为通用图灵机。通用图灵机正是后来出现的存储指令的通用数字计算机的理论原型。

  可计算性理论是计算机科学的理论基础之一。早在30年代,图灵对存在通用图灵机的逻辑证明表明,制造出能编程序来作出任何计算的通用计算机是可能的,这影响了40年代出现的存储程序计算机(即诺伊曼型计算机)的设计思想。可计算性理论确定了哪些问题可能用计算机解决,哪些问题不可能用计算机解决。例如,图灵机的停机问题是不可判定的表明,不可能用一个单独的程序来判定任意程序的执行是否终止,避免了人们为编制这样的程序而无谓地浪费精力。

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