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凸包及凸体的包含测度-应用数学专业毕业论文pdf

发布时间:2019-07-10 02:25 来源:未知 编辑:admin

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  武汉科技大学硕士学位沦文 第1页 摘 要 本论文以凸体为研究对象,主要涉及两个方面的内容:平面凸集的凸包为闭集的充分 必要条件;特殊凸体(椭圆)的包含测度。 (1)平面凸集的凸包为闭集的充要条件 呢?答案显然是否定的。例如:在E {.旦convA 具有什么样的特征呢?换句线中,集合的凸包为闭集的充分必要条件是什 么?本论文通过给出平面中凸集的相关性质,并利用平面中这些凸集的相关性质及引进的 准支持线和左准内点、右准内点的概念,得到了E:中的点集的凸包为闭集的充分必要条 件。 (2)凸体的包含测度 文献Ⅲ引入凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念,利用它们建立了凸域内定长 线]包含测度)的普遍公式,并对矩形区域进行了讨论。文献∽1讨论了平行 四边形、三角形和正六边形三种区域,找出它们的』1。义支持函数和限弦函数,计算出了这 些凸多边形内定长线段的运动测度的具体表达式。本论文运用具有强大生命力的“部分相 交法”及广义支持函数,限弦函数,交体等概念结合初等数学及测度的相关理论,推导出 其它特殊凸体㈣如椭圆)的包含测度的具体表达式。 关键词:凸集,凸包,闭,凸体,包含测度 第Ⅱ页 武汉科技大学硕士学位论文 Abstract with Convexbodiesaretheresearch inthe isconcemedtwo objects paper.Thepaper 2 conditionforconvexhullofasetinE andsufficient beingclosed; aspects:Anecessary Convexanditscontainmeasure.Thisis asfollows: body essayorganized Aisall convAis whetherornottheconvexhullofa ①if set,then opent”.Thus open closedsetis alsoclosed?Theansweris E 2,if clearlynegative.Forexample,in isaclosed isnotclosed![ set,but 一:杠,ylx“Y-1,YoJ,thenA c伽vA=缸,YlY0J a thatitsconvexhulliS WhichsetsatisfiesitsconvexhulliSclosed?WhatiSthecharacterofset for hullofasetin closed?Thatisto whatisthe andsufficientconditionconvex say necessary E2 closed.This outa andsufficientconditionforconvex justly necessary being topic gives iSclosed theresearchofconvexhullofasetinE2and hullofasetinE2which through twonew lineandleftcriticalinterior critical and.right concepts:criticalsupporting point interior point containmeasure andjts ②Convex body Twonew functionandrestrictedchord concepts,thegeneralizedsupport function,both beenintroducedinReference∽Generalformulateto the totheconvexset.have yield referring a offixed inaconvexsetwereestablishedbasedonthese kinematicmeasureofsegment length was with to domain.TheReference【14l concentsandadiscussion given respectrectangular dealswithsomeotherwise and regularhexagon.As shapedfigures:theparallelogram,triangle succeedin their functionsandrestricted forthese authors figures,the givinggeneralizedsupport chord theindividual forthekinematicmeasurementioned functions,andderiving expressions above.Acalledintersectionwith livesandthe functionand way part strong generalizedsupport restrictedchordfunctionhasbeenusedinthis usethe mathsandtheralated topic.We simple ofmeasuretoderivetheindividual forthekinematicmeasureoftheother theory expressions convex polygon(ellipse). Words:convex measure hull;closure;convex Key set;convex body;contain 武汉科技大学硕士学位论文 第1页 第一章绪 论 1.1综述 数学,这门古老而常新的科学,己阔步迈进了21世纪。被誉为科学的皇后的她,以 其抽象性、对称性和广泛的应用性享此美誉是:之无愧的。回顾过去的一个世纪,数学科 学的巨大发展,比以往任何时候都更牢固地确立了她作为整个科学技术的基础地位。数学 【r突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,并越来越直接地为人类物质生产 与日常生活做出贡献。 同时数学作为一种文化,已成为人类文明进步的标志。因此,对 丁当今社会的每一个有文化的人而言,不论他从事何种职业,都需要学习数学,了解数学 和运用数学。现代社会对数学的这种需要,在未来的世纪中无疑将更加与日俱增。另一方 面,20世纪数学思想的深刻变革,已将这门科学的核心部分引向高度抽象化的道路。然 而其抽象性、各种深奥的数学理论和复杂的数学方法,也使众多崇拜者、爱好者、好奇者、 门外汉望而生畏、或者望而却步、临阵退脱、敬而远之。 几何作为数学的一个分支可以称得上是最直观的。因为大多数数学家和非数学家将会 同意:数学不是--fq经验的科学,或者至少可以浇她不是以某种来自经验技术的方法实现 的,但她的发展却和自然科学紧密相联;而几何实际上是起源于自然科学和经验科学的。 它使数学的抽象性得以直观的解释,同时又使直观显示的科学得以与数学联系起来。 几何起源于土地的测量,以图形为研究对象。几何的最大特点是直觉性,直觉是几何 得以不断向前发展的创造源泉。凭借直观,人们可以把二重积分想象成三维空间中的曲顶 柱体的体积,可以理解多元函数的偏导数。然而,凭借直观,人们往往能得到一些“毋庸 质疑”的结论,正因为这样,许多其它的学科,总是时刻注意它的内容和结论在几何上的 意义。但这又恰恰是几何的大敌,因为许多“毋庸质疑”的直觉并不正确。例如,在E“中, 若每一个过原点的超平面与凸体K交得的n一1维体积都比它与凸体L交得的n一1维体积 就建立起来了几何公理系统,一部《几何原本》统治了几何2000多年,直到现在依然还 有生命力。他研究的主要是与“直”和“圆”有关的图形(包括圆锥曲线)。至于涉及到 一般的“曲”,直到17世纪笛卡儿、牛顿引进了坐标系、创造了微积分后才得以研究。一 条曲线的切线与微分是同一个概念,一条封闭曲线所包含的面积理论就是积分论。L.Euler f1777.1783),G..Monge(1746.1818)做了大量的前期工作后,由C.E 曲面论的第一基本形式奠定了微分几何。并把欧氏几何推广到“弯曲的几何”。B.Riem姐n 的工作。Elie 第2页 武汉科技大学硕士学位论文 外微分和他在李群的工作,是近代微分几何的柱石。 同时,几何推动了其他科学的进步,也为其他科学的进步所推动。解析几何的诞生使 微积分的发展成为可能,而优化问题、几何概率问题的发展又推动了积分几何和凸几何的 发展。几何自诞生已有超过2000年的历史,这门古老、直观而抽象的科学,也是~门孕 育着变革的学科。实际上某些现代科学中的最大的灵感清楚的来自于自然科学,数学方法 中的几何方法就显得尤其重要。目前的热点大多集中于突变、分支、自组织、混沌、分形 等这些非线性系统的几何的数学处理手段,然而凸几何实际也是一种有别于线性科学的几 何,其成果在许多领域有着广阔的应用前景。 在20世纪30年代积分几何正式成为独立的分支。积分几何的研究与几何概率的问题始终 密切相关,而积分几何的研究理论运用到凸的对象中特别有效。因而积分几何法在凸几何 与几何概率中的应用具有十分重要的作用呻】f11】【12】bll22J。凸几何所研究的内容涉及面广泛。 它既是一门基础理论,又与实际应用密切联系,极具应用价值。他既可以用另外的数学理 论作为工具,又能以它的理论、方法和结果反过来服务于的学科和实际。积分几何与凸性 的关系尤为密切。积分几何是探讨凸性的有力工具,而凸性恰好又是积分几何的有效性的 实证领域。 凸几何是以凸集或凸性作为研究对象的几何学分支。19世纪下半叶Hema肌 BmIlIlHe姗ann E.Lulwak引入了对偶混合体积的概念,这些都进一步丰富了凸体理论,并由此解决了许 多长期未能取得进展的重要课题。目前它依然是凸几何中最为活跃的研究方向。代表性著 Buscmann.Pefly问题的终极性解答等方面取得十分杰出的成果114】【1”。 凸几何既可用另外的数学理论作为其研究工具,又能以它的理论、方法和结果反过来 服务于其它分支乃至于实际。以下三方面充分说明了这一点。 的证法,并在后继的论文中运用球面调和分析方法证明出一些几何结果。稍后Minkowski 运用球面调和分析获得三维常宽凸体的一个特征。由此开辟了运用Fourier级数和球面调 和分析研究几何(包括凸几何)的一个研究方向。此方向至今仍然有很强的生命。 ER.Goode E.Lutwak等做了大量的工作‘“舭”。此外 y,E.L.Grinberg,H.GroemerEM.GrubeL Radon变换也是研究凸几何的另~个重要分析工具[171。 武汉科技大学硕士’≯:位论文 第3页 的一个交叉学科,研究【{{几何对象的低维信息(投影、截面积、平行X射线、点X射线) 重勾该几何对象或对该儿何对象的一r}质作出推断Ⅲ1一[4”。这是凸几何中.个有重要应用前 个末解决的问题,书未参考文献549篇。 分几何的研究与几何概率的问题始终密切相关.而积分几何的研究理论运用到凸的对象中 特别有效。因而积分几何法在凸几何与集合概率中的应用具有十分重要的作用[10]1“儿1212…。 凸几何所研究的内容涉及面广泛。它即使一门基础理论,又与实际应用密切联系,极具应 用价值。他既可以用另外的数学理论作为工具,又能以它的理论、方法和结果反过来服务 于其他的学科和实际。积分几何与凸性的关系尤为密切。积分几何是探讨凸性的有力工具, 而凸性是积分几何的有效性的实证领域。凸体的包含测度问题是凸几何中长期未能取得进 展的重要课题。任德麟在80年代建立了二维和n维含于凸体内定长线段的运动测度的系 统的理论,推导出n维欧氏空间中凸体的弦幂积分不等式,提出并解决了一系列极其复杂 的几何概率课题㈨”】【loI。 率重心的成果至今仍被国外凸几何方面的著作所引用。苏步青先生所著《微分几何五讲》 中的第一讲和第二讲所论述的正是凸几何中最精彩的内容。陈省身、吴大任、严志达、吴 光磊等前辈数学家对凸几何的发展也都有重要贡献㈣【27128… 1.2问题的提出及研究现状分析 1.2.1凸包的部分性质的研究现状 随着数学规划、对策论、数理经济学和最优控制理论等学科发展的需要,特别是在 优化领域中发现了凸集的许多应用之后,凸集理论越来越受到人们的重视【”。紧性是数学 研究工作中~个重要性质,而凸性在某些时刻可代替紧性。因此,闭性和凸性在几何中有 着重要的地位。当我们研究的对象不是凸集时,往往去考虑它的凸包;当我们研究的对象 是t『于集【”】。那么是不是闭集的凸包也是闭的呢?下面的例子将说明答案是否定的。事实 第4页 武汉科技大学硕士学位论文 2中 么什么样集合的凸包为闭集呢?凸包为闭集的集合具有什么样的特征呢?也就是说E 集合的凸包为闭集的充要条件是什么?这是文献【”1中提出的一个开放性问题。 1.2.2凸体包含测度的研究现状 任德麟对2维及n维欧氏空间导出了包含测度的普遍性公式;对2维情形,引入凸域 的广义支持函数和限弦函数两个新概念,利用它们建立了凸域内定长线段的运动测度(即 包含测度)的普适性公式,并对矩形区域进行了讨论。对高维情形,当K为凸柱体时, 导出了计算包含测度的递推公式ml【3”。张高勇等讨论了平行四边形、三角形和正六边形 三种区域,找出它们的广义支持函数和限弦函数,计算出了这些凸多边形内定长线段的运 动测度的具体表达式,并将其运用于几何概率问题中得到一系列结果。 1.3本论文所作的工作 (1)首先通过对某些特殊的集合进行研究、分析,总结它们的一些特征;其次通过对 破坏定义的某些条件的研究达到寻求充要条件的目的;最后利用平面中这些凸集的相关性 质并引进了准支持线和左准内点、右准内点的概念后,得到了E2中的点集的凸包为闭集 的充分必要条件。 (2)利用任德麟引进的广义支持函数和限弦函数这两个新概念以及对平面导出的的普 C 适性公式m(LK)计算了椭圆的包含测度. 1.4研究目标 本论文用平面中凸集的相关性质及引进的准支持线和左准内点、右准内点的概念去研 究了E2中的点集的凸包为闭集的性质以及充分必要条件:同时运用具有强大生命力的“部 分相交法”及广义支持函数,限弦函数,交体等概念结合初等数学及测度的相关理论知识, 推导出某些特定凸体的包含测度的具体表达式。 1.5本研究的创新之处 紧性是数学研究工作中一个重要性质,而凸性在某些时刻可代替紧性。因此,闭性和 凸性在几何中有着重要的地位。当我们研究的对象不是凸集时,往往去考虑它的凸包:当 我们研究的对象不是闭集时,往往去考虑它的闭包。本文通过对平面集合的凸包进行研究, 并引进了准支持线和左准内点、右准内点的概念,给出了平面集的凸包为闭集的一个充分 必要条件。 凸体及其包含测度是由任德麟开辟的研究凸体性质的独创性的途径,现在依然具有生 命力。包含测度可视为点集测度(体积)概念的推广。如果能进一步解决包含测度的表达 武汉科技大学硕士学位论文 第5页 和计算问题,我们就可以探讨凸体的伞新的几何性质。 1.6本论文的内容安排 本论文分为四章: 第一章为绪论。 第二章主要研究平面集的凸包。得到了E2中的点集的凸包为闭集的充分必要条件。 第三章主要研究用任德麟教授引进的广义支持函数和限弦函数这两个新概念以及对 平面导出的的普适性公式m∞CK)计算出椭圆的包含测度.为研究相应的几何概率打下 了基础。 第四章对所研究的两个问题作了简略的说明和展望。 第6页 武汉科技大学硕士学位论文 第二章平面凸集的凸包为闭的充要条件 2.1引言 凸体(集)是线性空间中一类具有特殊性质的几何体(集合),它的直观形象来自于对 特殊几何图形的认识,但它也具有实际的、广泛的应用。几何因为起源于实验科学,所以 充满着直观,有些直观问题可以提炼出精髓上升为可以广泛使用的自然科学,例如欧基里 德几何的《几何原本》:但也有一些问题虽与直观相左,却可抽象成另外的理论体系,并 有着重要的用途。比如,非欧几何的产生,广义相对论的出现。事实上,几何中有着丰富 的直观问题,它们容易叙述,但却很难解决。甚至有一些长期悬而未决的猜想,其最终解 答往往出于人意料和令人震惊。凸几何中也不例外。凸体作为独特的线性空间的子集,关 于它也有容易叙述但却很难解决的问题。随着数学规划、对策论、数理经济学和最优控制 理论等学科发展的需要,特别是在优化领域中发现了凸集的许多应用之后,凸集理论日益 受到人们的重视111。紧性是数学研究工作中一个重要性质,而凸性在某些时刻可代替紧性。 因此,闭性和凸性在几何中有着重要的地位。当我们研究的对象不是凸集时,往往去考虑 它的凸包;当我们研究的对象不是闭集时,往往去考虑它的闭包。本章正是通过对平面集 合的凸包进行研究,给出了平面凸集的凸包为闭集的充分必要条件。 2.2预备知识及问题的提出 2.2.1凸集的基本概念r”1 定义1任给E“中的点石,Y,连接x和Y的线段xy是指: 锣阿;戗+缈,口z0,卢z0,d+P;1}。 Y∈彳,V0‘As1都有(1一^k+砂∈爿,则称爿为凸集。 定义3所有包含集合A的凸集的交集称为集合A的凸包,记为convh。 事实上,集合A的凸包就是所有包含集合彳的最小凸集。 i&x1+^2工2+…+&rnX。为_,工2,…,‰的凸组合。 UESl为一个方向,设£为以U为法向的一条直线划分成两个闭半平面, 分别用£+表示1.t的正向所指的闭半平面,£一表示“的负向所指的闭半平面。 武汉科技大学硕士学位论文 第7页 定义5 果满足以下三条,称L为A在“方向上的准支持线‘以“的丑.方向顺时针旋转石/2为,。的正方向; 2 d也,爿)=inf{x—ylxEl。,y∈爿}:0: 3。A C1。一 定义6设r为s1的f集,对任意Ⅱ∈r,若存在od c6 为7’的右准内点,称l,“+6)为右邻域;若存在o c詈,使得。一6,“]cr,称“为r的 左准内点,并称0—6,“]为左邻域。 2.2.2问题的提出 是否也是闭集昵?下面的例子将说明答案是否定的。事实上,在E2中,集 凸包为闭集呢?凸包为闭集的集合具有什么样的特征昵?本章将深入研究这个问题。 2.3符号约束 口(fI,z:):具有同一起点的射线,I与射线,:所央的角形区域 A‘:集合A的补集 爿’: 集合A的聚点集(导集) 孑: 集合爿的闭包 注:以下命题及证明都是建立在以“∈r=蕾∈s’陋在方向“上存在准支持线},且,。为x 轴的基础上的,即L上的点可以直接以其横坐标来表示。 2.4引理和定理 定理3.1. A是凸集当目仪当A中任意有限个点的凸组合仍在A中Ⅱ“。 汪明:充分一眭由凸集的定义可知成立。 第8页 武汉科技大学硕士学位论文 必要性:对A中任取出的点的个数m进行数学归纳。 当m=2(此处m为4中点的个数)时,由定义知结论成立。 假设m 对于Vx=^z1+…+;tkx£+九+1z“l,当^+…+九+111,^20,xfEA,i=1,2,-··。 1。如果九+。一1,则z一一+1,IF61对xEA,结论成立。 2。如果九+。c1,此时^+…+九=1一九。).0,我们有: z一(^+¨.+t)×(_』L—_。,+.-+_jL_Xk)+九一M, ^+…+^ ^+…+^ 由假设可知 y·jij三iji工,+…+jiji兰ji工t∈s 因此x=(1一九+。)y+九+,x。是4中两个点的凸组合,所以z∈4。 证毕。 定理3.2 convh是由A中的元的所有凸组合组成的集合【12I。 证明:记r为A的所有凸组合所构成的集合。由于convA是凸的,且Acconvh,由 定理1知rc 意的实数A,0sA‘1, z·Az+n—X)y _A口l工1+…+A口,工,+(1一A)卢lyl+···+(1一A)卢,Y, 因为每一个系数都介于0,1之间,并且有: 著A口r+善(1~^)卢,。A善口一+(1一^)荟芦, =^X1+(1一A)×1 ;1 所以r是包含A的凸集,因此convAcT,故convA=T。 证毕。 引理3.3 集合爿为闭集的充分必要条件是A的每一个聚点都属于爿124】…。 证明:先证必要性。一为闭集,则A的补集4‘为开集。现假设‰为A的聚点,则对 武汉科技大学硕士学位沦文 第9页 任意6).0有U‰¨必含有无穷多个爿中的点,故z。不为A‘的内点,从而z。诺4‘,工。∈爿。 再证充分性。设爿。不为开集,则存在‰对任意6,0,有ub。,6)有无穷多个一中的点, 故x。为A的聚点,又‰∈爿。,这与A的每一个聚点属于爿矛盾,故而爿‘为开集,从而4 为闭集。 证毕。 引理3.4 如果A的凸包convA为闭集,则所有A的聚点都属于convM。 convA,.又[]if9convA为闭,所以‰∈convA。 &。}c 证毕。 定理3.5 并且“为左准内点和右准内点两者择其一。 证明:先证前面一部分,用反证法。假设l。nA7_妒,任耿工。∈f。NA’,由引理3.4 知z。∈convA,则此时Xo满足以下两条之一: 1)zo∈爿 c1 2)存在工1,石2∈月使得工。一Axl+(1一Ab2,0《A NA·妒,所以x。,x:必位于f。的 然而f。NA=妒,故工。萑一,即工。必满足2),事实上又有0 cA 同侧。显然不可能有工。一Zx。+(1一Ab:,0 也就是屯n孑=妒。 _。一+*,更进一步不妨就是‘一+m。 YiiEu为左准内点,用反证法。对任意Ⅳ’∈“一6,“]都有屯,使得它沿“’的正方向的一 侧都存在爿中的点,不妨设L与L.交于原点,从L述点中取一个子列{%∽,y:H使得 第10页 武汉科技大学硕士学位论文 Xn一卫,, x^一3‰, zn一工m,Xn一‘“ 1口 m一∞,,ⅢlJy一0: 能为convA的点,由引理3.3知convA不闭,矛盾。故而Ⅳ为左准内点。 证毕。 定理3.6 设爿的凸包c伽谢为闭集,如果L0.4一妒,且Ln彳存在最小值点,设取该 值的点为丘∽,y。),则“为左准内点。 证明:用反证法。假设“不为左准内点,则对任意“’∈0—6,“]都有日也,f。,)nA一≯, 。 的斜率!觋誓二监。0,从而f。上位于(一*,晶)上的点全为cD,l谢的聚点,然而‰s而,且 4一柙ZH—Xo 卑∽,y。)又是屯NA取最小值的点,故而由定理3.1知(一。。,晶)上的点又不属于c彻谢。由 引理3.2知convA不闭,矛盾。故而“为左准内点。 证毕。 定理3.7 设4的凸包∞n刨为闭集,z。n爿,≯,且屯NA存在最小值点,设取该值的 点为鼻G。,y,),L n4存在最大值点,设取该值的点为只k,Y,),则在(异,c)c上无彳的聚 点。 . 证明: 用反证法。不妨假设晶b。,y。)为(一m,只)上爿的聚点,则由引理3.3知昂应 而晶不属于con谢,矛盾。所以(一。。,只)无4的聚点,同理可得(e,+m)中也不含爿的聚点。 证毕。 定理3.8 lunA-≯,如果f。n爿’=妒,且H为左准内点和右准内点两者择其一,则f。 武汉科技大学硕士学位论文 第11页 中的点全不为convA的聚点。 得q。的邻域u0。,6)NA=驴,故鼋。 点,任取一点z。,NI.NA 所示的闭集曰使得uG。,£)n0 —]D =;一 ≮Enl 。 U 7 f\Z0 \ 圈2.4 “ 在z。的某一个邻域使得U&。,£。)NconvA一≯,从而‰不为∞n谢的聚点。 同理可知“为右准内点时结论也成立。 证毕。 2.5主要结论 爿的凸包convA为闭集的充分必要条件是对任意U∈r,以下两条必须成立一条: N2=≯,且“为左准内点和右准内点两者择其一; 1)L 最大值,此时“为右准内点,且同时(只,P)c上无爿的聚点: 证明: 先证必要性。由于左边和右边具有对称性,只需☆E明左边即可。由定理3.5、 第12页 武汉科技大学硕士学位论文 定理3.6和定理3.7即得所需结论。 再证充分性。用反证法。假设c。n州不闭,则对任意“∈丁,总存在晶∈(convA)‘,且 Po岳convA,则过最存在准支持线)如果Lnj=≯,且“为左准内点和右准内点两者择其一,由定理3.8知L上所有的 点都不为convA的聚点,这与最E(convA)矛盾; 2) 如果f。nA一≯,若屯n_既存在最小值又存在最大值,设取该最值的点分别为 矛盾;下面考察Ln爿当且仅当存在最大值,“为右准内点,显然最圣(P,,+*),否则因为 形。 现一定存在如图2.5所示的半矩形域,使得在该矩形域内无A中的点。 田2.5 否则任取使(x。,Y.)lea: 矛盾。 2)如果仁。)无界,那么对任意高度为砉的矩形域都存在爿中的点,随着n—m就有 (一m,尺。)的点都为A的聚点,这与(一。。,P,)中无爿的聚点矛盾。则在心R。置域内无爿中的 点,从而也无c伽谢中的点,进一步地,存在最的邻域无cDn谢中的点,故而R岳∞n谢), 矛盾。 证毕。 武汉科技大学硕士学位论文 第13页 第三章凸体的包含测度 3.I问题的导出 积分几何(Integral Geometry)与几何概率(Geometric 进展的重要课题。包含问题(Containment 是几何中的一个基本问题:人们会想如何把一个橄榄球放入一盒子中。数学家则关心在 什么条件下一域包含另一域。这个(些)条件应当是一个(一组)与这两个域有关的几何 维含于凸体内定长线段的运动测度的系统的理论,推导出玎维欧氏空间中凸体的弦幂积分 不等式,提出并解决了~系列极其复杂的几何概率课题【9】【10】【111。 段Ⅳ随机地投掷于平面上,若已知N落入区域K。内部,试求Ⅳ与K相遇的概率。这就 是所谓的探针搜索问题。若能求出含于K。内的定长线段Ⅳ的运动测度 们建立了凸域内定长线段的运动测度(即包含测度)的普遍公式,并对矩形区域进行了讨 论。文献1讨论了平行四边形、三角形和正六边形三种区域,找出它们的广义支持函数 和限弦函数,计算出了这些凸多边形内定长线段的运动测度的具体表达式。 3.2预备知识‘241一f26l【29】【32l_【“ 3.2.1平面运动群 3.2.1.1平面运动群 平面上欧氏运动群(在不致引起混淆的地方,一律简称为平面运动群,或运动群)以 P’0。,Y’),则H可表示为 笫14页 武汉科技大学硕士学位论文 fz’=XCOS≯一Ysin≯+a, “:ty=xsin庐+Ycos≯+6, r3.2.1.1) 式相对照,不难解释具有参数a,b,毋的运动U的几何意义:在平面上取定坐标系xoy,设 想另有一透明薄纸覆盖与平面上,并在薄纸上取坐标系工…0Y’。倘开初xoy与X~0Y’重叠, 且此时平面一0~Y上P’点与平面xoy上P点重合。现将薄纸紧贴原平面作运动,致D’关于 间的联系正好是(3.2.1.1)式,基于这样的解释,我们称n,b为运动Ⅳ的平移分量,而庐称为 运动“(口,6;妒)的参数的变域为 在3维欧氏空间(口,6;妒)中,引入等价关系: (a,b,妒+h)一(口,b,妒l七为任意的整数 (3.2.1.2) 运动群肌中的元素“(n,抚妒)表示为下列矩阵的形式是很有用的: “。≯-s苫in妒。0劲 @z^s, 在这种表示下,群的单位元e(O,0,0)对应于单位阵: e删] “一。黟-絮sin6b:翠≥] @2^∞ 武汉科技大学硕:t学位论文 第15页 现在我们来求在左推移及右推移之下运动的参数变换,设5由下列矩阵给出: 叩CO寸S‘bo-警sin#o车] ∞加 c。s九 sin妒 c。s妒 6 sⅡ2sin‰ ‰0 …≯鬻评(co…s#-刚sin#0l 0 1JI0 0:1]J (3.2.1.8) (3.2.1.9) (3.2.1.10) 3.2.1.3 m上的微分形式 定义于运动群的参数空矧rn上的一级微分形式(简称1形式)是指如下形式的表达 式: W(H)=a(u)da+/i(u)db+),(“)d≯ 点UEm处m上所有1级微分形式之集,以自然方式引进线页 武汉科技大学硕士学位论文 A∈只 Aw(H)=Act(u)da+—tJB(u)db+Ay(H)d≯, 则构成一3维向量空间,此空I剐称为m在点U处的余切空间,记为巧,1形式 如,曲,d庐构成巧的一组基,或者,在如,如,却的线性组合中任取三个线性无关者,亦可 构成巧的基。 由左推移三,和右推移R分别可以诱导出余切空间之间的映射。这些诱导映射对以下 的讨论至关重要。由L,可以诱导出映射 t:0一巧,珊0)¨04su); (3.2.1.12) 由R,可诱导出映射 R::0一瓦,tO(U)b--w(us)。 (3.2.1.13) 呻 1I 血i兰 如曲 胁胁眇 1.搿蛳 a(“),卢0),r(u),同时旋行如下代换: 『d口—÷一(口o sinO+bocos妒)d≯+da; sin妒)d#+db, (3.2.1.15) {如一(aocos妒一bo ldO—d妒. (3.2.1.14)和(3.2.1.15)式分别来自(3.2.I.9)和(3.2.1.10)--式。 3.2.2运动密度 3.2.2.1左不变l形式与右不变1形式 为了建立运动密度概念,需要先介绍所谓左不变1形式和右不变1形式。 在映射上:下保持不变的1形式称为左不变的,在映射R:F保持不变的1形式称为右 不变的。 为了具体地描述左不变1形式,只需注意到矩阵 武汉科技大学硕士学位论文 Q£=12“du (3.2.2.1) 具有左不变性。事实上,我们有 tQ』=(su)‘1d(su)=U-Is~sdu=U-1du=Q£ 此式表明Q。确实是左不变的。从而矩阼Q。的所有元素是左不变1形式。由(3.2.1.3) $11(3.2.1.4)--式有 。(寻一i庐一cso;sn。埘da苫+scin。s硇彬db6) 于是我们得到如下的左不变1形式: (3.2.2.4) 显然,q,∞:,09,是线性无关的。 由于q,甜:,(03是左不变的t因此它们的带常系数的任何线形式a 并且不难证明,这样的线性组合已经穷尽了珊上一切左不变1形式,即m上任一左不变1 形式都可表示成为03,,吐,0)3的带常系数的线,∞:,峨是线性无关 的,它们构成巧的一组基,从而每个1形式m@)皆可表示为 脚u)=a@)q+fl(u)o)2+yQ)∞3 如果再假定甜“)是左不变的,即峨(su)=q@)(i=1,2,3),从而有 【a(su)一口0)】埘。@)+【fl(su)一卢(Ⅳ)】n匕0)+【y(su)一y@)】Ⅲ,(“)一0. 再由q,(11:,(03的线性无关性,有 a(su)=a@),fl(su)=卢0),yO“);y@). (3.2.2.4)式中的三个左不变1形式,实质上就求出了m上的所有的尼不变1形式。 求右不变1形式的讨论完全类似,简要叙述如下。矩阵 QR=duu’1 (3.2.2.5) 第L8页 武汉科技大学硕士学位论文 具有右不变性: R:QR=d(“s)0s)~=duss.1U~;QR 卟警] (3.2.2.6) (3.2.2.7) 并且m上任一右不 首先,由于∞。,甜:,∞,皆为左不变1形式,因此它们的外积 A Adb dK=埘lA∞2 0)3一daAd庐 (3.2.2.8) 是左不变的3级微分形式(简称3形式)。今设 A 妒一f(u)da^dbAd妒=f(u)q602A屿 为任意一个左不变的3形式,应有 w3(u) f(su)co,(su)A珊2(su)A(03(S/一/);,@)q0)A甜2@)A 由于诸m是左不变的,即 COiO“);O)i(M),f=L2,3. 由此推知厂(蹦)=f(u) 因为这一等式对任何s∈坍成立,故,啦)必定是常数。这就表明,若不计一个常数因 子,(3.2.2.8)式中的dK是m上唯一的左不变的3形式。 其次,考虑∞1,山2,∞3的外积,得到 ∞1A∞2A∞3=daAdb Ad毋=dK (3.2.2.9) A 依据类似的推理可知,若不记一个常数因子,dK=dadb—d妒也是m上唯一的右不 变3形式。 武汉科技大学硕{1学位论文 第19页 再次,微分恒等式姚一;P(单位矩阵)可得 duu1+Ⅳ咖~=0. 即(“‘1)。1幽~—一duu~, 亦即 Q。0“)=一Q。0). Adb 此式表明,前面得到的dK—daAd西具有如F的性质: dK(u4)=一dK(u) 变。我们把这一事实称为dK关于逆运动的不变性,简称为反演不变性或逆不变性。 综上所述,3形式 A∞2A∞3;da dK=Ⅲ1A∞2A鸭·∞1 Adb^d妒 (3.2.2.12) 是具有左不变性、右不变性及反演不变性的3形式:不计一个常数因子,它是具有这 些性质的唯一的3形式。 dK;daAdb A却正好是运动群的参数空间∞的体积元。 运动群的参数空间∞中的一个区域盖,亦即此域中之点所对应的那些运动所构成的 集。dK在区域x上的积分便是x所对应的运动之集的测度,叫做集z的运动测度。 3.2.2.3运动测度的几何意义 设想平面上有二区域‰,K,其中K。为位置固定的区域,而区域K的位置是可变动。 现在我们考虑能把K带到与K。相交的位置的那些运动U。这些运动所成的集可记为 x一{p:uKI]Ko,≯}或“KnKo-庐。 按刚才的定义,集x的运动测度为 其中dK为运动密度(3.22.12)。 现在来看看运动密度的几个不变性的直观意义。先晓运动密度的左不变性。设s为任 意给定的一个运动。s把C带到新的位置sK。对于这个固定的5K。.仍考虑与刚才同样 第20页 武汉科技大学硕士学位论文 的问题,即考虑运动的集丑。=p:vKN(sK。)-升的测度。因为 X1={P:vKN(sKo)≯庐)={sH:(su)KN(sKo)≠庐}, 的运动的集之测度,与K。置于平面的何处无关。运动密度的右不变性可作相仿的解释。 仍设s为任意给定的一个运动。在s的作用下,K的起始位置变到了斌。因为 X2一p:Ks整)NKo≠妒} =缸坫4:0s4)(斌)nKo≠甜 ={琊。1:uKnKo≠庐}, 右不变性,可知m∽:)=m(石)。亦即在求上述测度时,运动密度的右不变性体现了与K起 始位置选取无关这一几何事实。至此,我们已经看出,不论‰置于何处,也不论髟的起 始位置如何,运动集X=恤:uKAK。一辨的运动测度总是一样的。如是,现在这种求运 动集的测度的观念与原先求几何元素集的测度的说法就一致起来了。由刚才的讨论还可看 出,置放固定图形的平面上的坐标系(固定标架),以及与动图形附着在一起的坐标系(活 动标架),都可以任意选取。最后我们来考虑运动密度的反演不变性。由于条件“KnKo一毋 NK 等价于Kn“~Ko≠妒,故知运动集蜀=如:vKn 动的反演而来(即对J中每个运动取其逆,便得集z,)。由运动密度的反演不变性可知 为位置可变动的区域,把K。带到与K相交的运动的集之测度与原先所求的测度相等。 运动密度的其他形式若不用参数口,b,≯来确定运动,而以其它适当的参数确定运动. 则运动密度dK将取另外的形式。 武汉科技大学硕。学位论文 第21页 3.2.3广义支持函数和限弦函数 定义以盯表示【『j域D被“线G截出之弦长。当G仅与OD棚交包括GNOD是线i敬广义法式。对任意给定之盯殷妒(0s庐c2Ⅱ),置 定义 以盯。(妒)表示垂直卜≯方向的直线G与凸域D截出的弦陡最大值,L!P rq,声);min{l,%(庐)},我们称,.元函数r(f,庐)为凸域D的限弦函数。 显然,对任何h 2zr,0s盯s 0,广义支持函数p(a,庐)在区域(只):0E庐s r(Z,≯)上有 定义。 现在我们来介绍用广义支持函数和限弦函数表达运动测度mq)的公式。 。 前。则有m(f)=亦一J,d“叭p(a,庐)d盯,其中F为D之面积 33已有的结论 文献【2】引入凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念,利用它们建立了凸域内定长 线段的运动测度(即包含测度)的普遍公式,并对矩形区域进行了讨论。文献m1讨论了 平行四边形、三角形和正六边形i种区域,投出它们的广义支持函数和限弦函数,计算出 了这些凸多边形内定长线段的运动测度的具体表达式。 以P表示二邻边分别为口和6、二邻边的夹角为0的平行四边形。不失一般性,可设 6 sn,o s口s三。找出P的广义芰持函数和限弦函数以后,根据公式I叮以算出各种情况下 州(f)的表达式。我{f』有埘(f);m6 下,I的汁算结果如F: A设0 sbs shl h!sasdlsd2。 第22页 武汉科技大学硕士学位论文 c 爿。当0sfh。时, Hm”譬(8一≯喀a一等 sfb时, A2当^1 』,。俐+ah]arccos争咱+lblcosO)扩可 一譬一孚c留臼c三一口一arcc。s争, 爿3当bsl(h2时 ‰hi arccos争川一a扩可+互1砰 sfa时 爿4当h2 ,=矾a…s争+蚰:arcc。s了h2 cos口√f2一^; +Ⅱf—n√72一^?一a2 +。cos口麻+等c增日·arccos争一三砰 sfdl时, A5当a ,:矾(n1+bh2也+譬一n扩可一6麻 +等(争即帆了12+譬 A6当dlsl!d2时, ,=三矾(口+疵埔)+三州sillp啦)“n噍】 一lzbl[sin九一sin(妒。+日)】+了12{cfg防一以一日一九一sin噍c。s疵 2以, 一sin(O+毋,)cos(O+毋,11+COS2(日+A1一cos 武汉科技大学硕士学f电论文 第23页 s B设0 sb shI h二sdI≤asd!。 a B1当0s,hI时,刚爿l slb时,同爿2。 B2当hl B3当6s,h2时,同爿3。 sfdl峒, B4当h2 若日+卢c詈,同4:若9+卢a詈,同爿。e B5当dl蔓l口时, 若疗+卢c三,同爿一:若日+卢z詈,贝o ,=三口.il。(日+九+妒:)+口t[2一siII咖一sin(口+妒:)】 lz{c喀8p+庐:一九-sin虫c。s虫 +。l 2(口+≯2)} +sin(0+屯)cos(臼+啦)】一COS2识一COS +昙6f[sinp+丸)一sin啦】。 B。当d,s,sd,时,同A;。 sbsa C设0shlsh2 sdlsd2。 C。当0slsh。时,同爿,。 C2当^ls,sh2时,同A2。 c3当h:sfb时, I=口f(1一sin咖一cososin虫)+bl(1一sinOcos庐O +丢心喀臼(-3r-sin20+20+2死+劲: +sin2妒I+sin20COS2≯2) 20-sin 2(2sin 29sin242)。 一141 C。当6s,a时,同爿。。 第24页 武汉科技大学硕士学位论文 C5当as,dl时,同爿5。 sf C6当dlsd2时,同46。 E设0 sbsa shl王h二sdlsd2。 s E1当0sfh】时,同爿1。 sI E2当h1sh2时,同42。 H口, E3刍h2sfdl 若疗+卢c12,同_:;若口+卢z考,同c,。 E4当d1≤fb时, 若日+卢t三,Nc,;go+卢苫要2,贝口 』=丢ahl(占+庐。+九) +丢alt2一sin咖一siⅡ(口+≯:)】 1 +吉bzt:一sin如一sin(0+疵)1 sin 一;[2 20-cos2珐+c。s2p+疵)】 z咄疗p一+sin20-疵一≯: 一iI 一吾sin矽。一圭sin2(口坞)】o E5当6‘1口时,同B5。 s Z E6当asd2时,NA6。 3.4主要结论 3.4.1基本定理 定理1以毋疗向为法方向的直线G截椭圆时,过原点的直线与椭圆的交弦最长。 证明:以击方向为法方向的直线系方程为v;h+t①。其中k:一cotO.设椭圆 武汉科技大学硕J‘学位沦艾 第25页 的方程为≤+善:l ②,“K一①、②可得之2+堡竿竺:1,从而就有 a。 D— n+ D— p铲+静砉小。 则直线-t d=IXI--X21csc庐=.2口a。b.__女_撕。l++6k一-x/a-k 所以 4—2—:iii可V。2+D‰。=等等历丽 此时t=0,即过原点的直线Y=kx与椭圆的交弦最长。 证毕。 定理2不妨设口,b,以≯方向为法方向的方程为Y=h的直线被椭圆所截得的弦长 do的取值范围为d。∈陟,2n],其中0s≯s号,≈—一cot。 证明:由椭圆方程乓+[:1与y:h联立有:L2 a。 b do=2 厨地。后磊 吾靠 故而有: 等=肛再磊石。 下求d。的取值范围,考察 m);厩而高 , 故而帖(那口],当k--.oo时, 则几)=患,从而有砉s几)矿1 d。=2b,也就是d。∈陟,2a]。 证毕。 第26页 武汉科技大学石贞士学位论文 3.4.2椭圆内定长线段的运动测度公式 以F是椭圆的限弦函数r(f,妒),那么 f,当Osl2bg.os妒s号 r(t,庐)= 峭…扎…睁露卜 知。焉孰Ⅲ…一叫手露) 椭圆的广义支持函数为 pp,≯)一些警 由椭圆椭圆的限弦函数r(f,妒)和椭圆的广义支持函数,我们马上可以得到椭圆内定长 线段的运动测度公式为: 1。当0sf2b 卅(f)崭加f8d矿引p(刚如 ∥舡蝣d“机州p(叫p盯 ∥加货d“些学 ∥加知d《厨丽而厢F而再i疏口 ∥舡知厨而而厢证矸而ii。孤≯ 一拍b蝣o-5 I。 arcsinf巫塑2abb s2a 2。当2bsf re(1)∥口6-f4d“”川p(叫如 =鼎6一蝣d““’’p(叫Ⅻ盯 武汉科技大学硕士学位论文 第27页 崭舡旷(;、雾kV磊i巫王;茅五 厨蕊仃一q;嘲州j6鼍孚 扛万1藏i万忑丽盯 =sr2ab-2rrab arccos(争孵卜× ,f。阿1厨而i丽厣西两而碲妒 …“l刊7:芦I 一~;时咖率驴 第28页 武汉科技大学硕二匕学位论文 第四章结论与展望 本文的第二章在引进了准支持线和左准内点、右准内点的概念后,得到了平面集的凸 包为闭集的充分必要条件,如果能将这两个概念推广到3维空间和高维空间,作者猜测也 可以得到高维空间的类似结果。 本文的第三章以任德麟引进的广义支持函数和限弦函数为工具,应用包含测度理论, 得到了椭圆的包含测度。毫无疑问,它对研究以椭圆为基本元素构成的平面曲线网的 BUFFON投针问题等几何概率将会有直接的作用。另外,也尝试着可以找到椭圆的包含测 度与椭圆周长的关系。如果不能很准确的刻画它们的关系,我们也当然可以通过一些数学 工具来描述其变化的曲线,还可以在椭圆的面积一定的情况下找出其包含测度的极值。 武汉科技大学硕¨啦沦文 第29页 参考文献 R.TYRRELLROCKAFWLLAR 【1】Convexanalysis Princeton,New Jersey Press University 【2】 任德麟,积分几何引论【M】.上海:上海科学技术出版社,1998。 in Scientific 【3】DelinRen.TopicsIntegralGeometry[M].Singapore:world Publisher,1992. and 【4】LA.SantaloIntegralGeometryGeometry Wesley,1976. 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