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有界凸体迁移系统中一类临界方程的解

发布时间:2019-08-09 07:32 来源:未知 编辑:admin

  (绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000)摘要:在Lp(1P<+)空间研究有界凸体迁移系统中一类单能、各向同性、非均匀介质的I临界方程,使用泛函分析方 法,证明了临界本征值及相应的非负解存在的充要条件. 关键诵:临界方程;临界本征值;紧算子;弱紧算于;谱半径 中田分类号:0177.92 文献标识码:A 文章编号:1008—293X(2004)09—0005—04 O引言 迁移理论中临界参数的研究是一个十分重要而又兴趣的课题[1、”,其任务之一是根据迁移介质的物 理参数确定迁移区域的尺寸,以获得实际工作需要的临界解.多年来数学物理界为此做了大量的工作(例 如[3—7]).采用多种方法研究这一课题.本文研究有界凸体中一类单能、各向同性、非均匀介质的临界本 征方程.其数学表述是: 二<ot其中(;,五)G:VB,V是欧氏空间R3中一有界凸区域,其表面ay是分片光滑曲面,B是舻中的单 位球面,n是aP上的外法线方向,口(G)是c上P次幂绝对可积函数的全体在通常范数下的Banach空间, IP<+m,c(r)为散射裂变核,d是总碰撞率. 所谓迁移系统(I)的临界参数,是指相应的Boltzmann积分算子的主本征值.本文假设: (A)c(r)是非负有界可测函数,0蔓c(r)曼co=sup{c(r)},记E={ry二c(r)>0},E的测度渊(E) 本文将算子A的谱集、点谱、谱半径、值域分别记作口(A),d。(A),y(^),R(A),f表示单位算子.1Boltzmann积分算子的主本征值 首先在L2(G)上研究系统(1),引入算子: 厶11=一门 grad79一d口,D(L)=D cL2(G) 引理l【8’对任意非零复数a,(aJ一厶)一1在L2(G)存在且有界,对任意f£2(c),有: 收稿日期:2004—06—15基金项目:浙江省自然科学基金资助项目(102002);浙江省教育厅科研项目 作者简介:汪文珑(1948一).男,江西责溪人,教授,硕士.研究方向:泛函分析 万方数据 6绍兴文理学院学报(自然科学) 第24卷 其中So(r,n)是边界函数. 由引理1,方程(I)可以写成算子方程形式:口=E’舻,口。审D.令 记L2(V)为V上的平方可积函数全体在通常内积下的Hilbert空间,L2(V)积分算子为兄, 聪是弱紧算于、iE算子、半正定算子.证明 由k的定义可知疋是正算子.对任意非零函数9(;)L2(y),有 注意到Fexp(一20』r一/J』)是Vy上的弱奇异积分核,据[9]可知,存在自然数n使得碍是紧算子,从而E是弱紧算子.定理证毕. 由[10]可知,疋的谱由至多可数个离散的本征值组成. 定理2 y(瓦)=iCO. 证明 由对称算子的极值原理,可得y(疋)=‰rai…n(Kaso坤)=『f巧ff,据(12j,存在铷 L2(V),i|中o《=【,使得y(疋):(疋90,咖).使用Fourier变换: 币)=志』n,exph)击exp(.f二 7)aj= ,1)Po(r)po(r’)drdr’ 其中雪(二)=志J尸。(j)exp(一i二;)d7,由xarctan是x(o,)的严格单调递增的连续函数, 以及姆一rclanil=1.可得y(坼)s iCO 另一方面,对任意0<e<c。,令,={;y?c(j)co—e},由假设(A)得批,J>o,设函数9。(;) =7磊1孑,(;),其中z,(;)是,的特征函数,记 万方数据 由[13]可得:存在d>o,B(是以原点为心,以8为半径的球,使得Jm)l垂。(")l2幽<e,所以 2di—e]百1arctan亨(c。一2e). 由e的任意性,可得y(%)詈,所以y(%)=了CO.定理证毕. 物理上称迁移系统(1)是临界(次临界、超临界)的,若y(犯)=1(y(%)<1,7(疋)>1),注意到% 的积分核是非退化的,由定理2可得: 定理3若导=l,则迁移系统(1)是临界的;若害<l,则迁移系统(1)是次临界的;若詈>1.则迁移 系统(1)是超临界的. 类似于[7]可得: 定理4若鱼<1.则迭代序列审o=L:1q,xF.=£一1蛾一l+L;1q,n=1,2,…的极限收敛于系统(1) 的唯一精确解口(;,而)0. 由下面的定理可知定理3与定理4的结论在空间口(y)上都成立,1P s+*,其证明同[14],并且 以下只需在空间L2(G)上讨论即可. 定理5如果将%作为空间p(y)上的算子,1兰P+*,则K的本征值与相应的本征函数均与p 无关. 2临界解的存在性 熟知‘ )【”,迁移系统(1)的临界性不仅与迁移介质的物理性质有关,而且与迁移区域的大小有关.下 面研究在V是球体P(R)的条件下,通过调整球体的半径R使系统(1)处于临界状态,也就是说使主本征 值A(c,口;R):1,我们将证明当co>口时临界半径R的存在性. 考虑扰动球y(R+ER)上的迁移方程: grad:xF(r。',而)=掣』。9(,西)历一a尘(,fi)+q(j,而)9(,而)D:{缈(},而)L2(G)?1)而.gmd7尘(,面)L2(G); 2)尘(i,而):o,ay(1l+eR),而二<oj 其中G;P(R+ER)B,£>一1,令一r:(1+e)一1一rt,矿(R+£R),则方程(6)化为 (1+e)-fi gmdjp(;.五)=等胁;,O一)dO一一叩(;,而)+Q(;,而) 记K…m=MJLnmM,则类似于定理1,定理2可得:对任意e>一1,K…。),是L2(y)上的弱紧算子、正算子、半正定算子,且y(x(I,)= 万方数据8绍兴文理学院学报(自然科学) 第24卷 7(K(1+c)。)是e(一1,+*)的严格单调递增函数. 因此当詈>l时,必存在e。>一1,使得7(K(-“))=l,也就是说,当迁移球体y((1+s)剐的半径 为(1+eo)R=Ro时,迁移系统(6)处于临界状态,并相应的有临界解口(r,n)0. 参考文献: 1B.Davison.中子迁移理论[M].和平译.北京:科学出版社,1961. 2G.I.Bell.S.Glaestone.棱反应堆理论[M].千里译.北京:原子能出版社.1979. 3H.D.Victory.Criticality problems energydependent neutron transport theory(J].J.Math Anal.Appl.1980,73:85—114. 45678910 1l 12 13 14 G.Frosali,C.V.M.vail der Mee.A stationary eritieality problem generalLp space energydependent neutron transportin cylindrical geometry[J].Z.angew.Math.Plays.1984。35(2):166—180. G.Busoni,G.Frosali.Integral formulation asteady—statetransport process generalboundary conditions [J].Math.Meth.Appl.Sci.1984,6(1):68—83. G.Borgoili,G.Fresali.Criticality transport problem sphericalsystem speeulatype boundary conditions(J]. Tram.Thso.Stat.Phys.1986.15(6—7):937—958. 冯德兴,朱广田.迁移理论中的一个扰动问题[J].系统科学与数学.1984,4(3):196—206. 阳名珠,朱广田.具各向同性散射和裂变的中予迁移算子的谱【J].中国科学A,1981,24(1):25—30. 陈传璋,侯宗义,李明忠.积分方程论及其应用[M].上海:上海科学技术出版社.1987. Dowson H.R.Spectral theory linearoperatom[M].London,New York,1978. F.黎茨,B.塞克弗尔维一纳吉.泛函分析讲义(中译本)[M].第二卷.庄万等译.北京:科学出版社, 1981. Marek I.Frobenius theory positiveoperators:comparison theorems applications(J].SIAMI.Appl.Math.1970,19(4):607—628. 潘文杰.傅立叶分析及其应用[M].北京大学出版社,北京:2000. 汪文珑,温诒忠.半空间模型第一类临界本征方程及离散纵标方法的收敛性[J].数学杂志.1992。12 (4):465—472. The Solution CriticalEquation TransportSystem BoundedConvex Geometry ,『Wang Wenlong (Department Mathematics,ShaoxingUniversity,Shnsxing,Zhejinag,312000) Abstract: In paperwe investigate criticalequation transportsystem abounded。onve‘germ-etry.By using functional analysis,we show criticaleigenvalue correspondingnon—negative solution in印(1P+)space. Key words:critical equation;critical eigenvalue;compact operator;weakly compact operator;spectral radius MSC 2000:46N10 万方数据 有界凸体迁移系统中一类临界方程的解 作者: 作者单位:绍兴文理学院 数学系,浙江,绍兴,312000 刊名: 绍兴文理学院学报 英文刊名: JOURNAL SHAOXINGUNIVERSITY 2004,24(9)被引用次数: 参考文献(14条)1.B Davison;和平 中子迁移理论 1961 2.G Bell;S.Glasstone;千里核反应堆理论 1979 3.H VictoryCriticality problems energydependent neutron transport theory 1980 4.G Frosali;C.V.M.Van der Mee stationarycriticality problem generalLp space energydependent neutron transport cylindricalgeometry 1984(02) 5.G Busoni;G.Frosali Integral formulation statetransport process generalboundary conditions[外文期刊] 1984(01) 6.G Borgoili;G.Frosali Criticality transport problem sphericalsystem speculatype boundary conditions 1986(6-7) 7.冯德兴;朱广田 迁移理论中的一个扰动问题 1984(03) 具各向同性散射和裂变的中子迁移算子的谱1981(01) 积分方程论及其应用1987 10.Dowson Spectraltheory linearoperators 1978 11.F 泛函分析讲义1981 12.Marek Frobeniustheory positiveoperators: comparison theorems applications1970(04) 13.潘文杰 傅立叶分析及其应用 2000 半空间模型第一类临界本征方程及离散纵标方法的收敛性1992(04) 引证文献(1条) 有界凸体中一类临界方程的离散纵标逼近[期刊论文]-绍兴文理学院学报2006(7) 引用本文格式:汪文珑 有界凸体迁移系统中一类临界方程的解[期刊论文]-绍兴文理学院学报 2004(9)

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